Федор Сергеевич родился 18 декабря 1997 года в Сибае. Начальное общее образование получил в средней общеобразовательной школе №5, затем обучался в средней общеобразовательной школе №14. После окончания школы отучился на мастера строительно-плотничных работ в Сибайском колледже строительства и сервиса.
В апреле 2016 года Федор Сергеевич был призван на военную службу по призыву, которую проходил в городе Санкт-Петербурге. Федор Сергеевич принимал участие в параде Победы на Дворцовой площади, был награжден медалью «За участие в параде Победы». С 2020 года работал в Федеральной противопожарной службе Государственной противопожарной службы Главного управления Министерства Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий России по Республике Башкортостан в должности водителя пожарного автомобиля.
4 апреля 2023 года заключил контракт с Министерством обороны Российской Федерации о прохождении военной службы для участия в специальной военной операции на территории Украины, Донецкой и Луганской Народных Республик. Военную службу проходил в должности водителя-санитара медицинского отделения медицинского взвода войсковой части.
28 июня 2023 года при выполнении боевых задач в ходе проведения специальной военной операции погиб, до конца оставаясь верным военной присяге.
Указом Президента Российской Федерации за мужество, отвагу и самоотверженность, проявленные при исполнении воинского долга, рядовой Ф.С. Максимов награжден орденом Мужества (посмертно).
Орден на вечное хранение передали матери Федора Сергеевича, Любови Федоровне.
Со словами соболезнования перед родными и близкими выступили депутат Государственного собрания - Курултая Республики Башкортостан Эльза Мансурова, глава администрации ГО г. Сибай Азамат Юлдашбаев.